Dielektryki Pole elektryczne Prawo Gaussa

Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe

Rozpatrzmy atom umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu \( E \). Wówczas na atom działa siła, która przesuwa chmurę elektronową o \( r \) względem jądra atomowego ( Rys. 1 ).

: Sferyczna chmura elektronowa przesunięta zewnętrznym polem elektrycznym względem jądra atomu na odległość {OPENAGHMATHJAX()}r{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 1: Sferyczna chmura elektronowa przesunięta zewnętrznym polem elektrycznym względem jądra atomu na odległość \( r \)

Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy \( p \), a wypadkowe pole elektryczne w miejscu jądra jest sumą pola zewnętrznego i pola od chmury elektronowej.

(1)

\( {E_{{\text{wyp}\text{.}}}=E+E_{{\text{elektrony}}}} \)

Jeżeli potraktujemy, w naszym uproszczonym modelu, chmurę elektronową jako jednorodnie naładowaną kulę o promieniu \( R \) to pole elektryczne wytworzone przez chmurę elektronową w odległości \( r \) \( (r < R) \)od jej środka jest dane wzorem Prawo Gaussa-( 7 )

(2)

\( {E_{{\text{elektrony}}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^{{3}}}r=k\frac{Q}{R^{{3}}}r} \)

Ponieważ jądro znajduje się w położeniu równowagi (nie przemieszcza się) więc \( E_{wyp.}=0 \), skąd dostajemy

(3)

\( {0=E-\frac{kQ}{R^{{3}}}r} \)

skąd

(4)

\( {r=\frac{R^{{3}}}{kQ}E} \)

Zatem, indukowany moment dipolowy jest równy

(5)

\( {p=Qr=\frac{R^{{3}}}{k}E} \)

Moment \( p \) zgodnie z oczekiwaniami jest proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola elektrycznego \( E \).

Rozpatrzmy teraz dielektryk, w którym znajduje się \( N \) atomów (cząsteczek). Jeżeli każdy atom ma średni moment dipolowy \( {\overline{{p}}} \) skierowany zgodnie z zewnętrznym polem \( E \) to całkowity moment dipolowy

(6)

\( {p_{{\text{całk}}}=N\overline{{p}}} \)

Z drugiej strony indukowany ładunek \( q' \) pojawia się jedynie na powierzchni dielektryka więc dla kondensatora płaskiego, wypełnionego dielektrykiem, którego okładki o powierzchni \( S \) są umieszczone w odległości \( d \)

(7)

\( {p_{{\text{całk}}}=q'd} \)

Łącząc te wyrażenia, otrzymujemy

(8)

\( {q'd=N\overline{{p}}} \)

lub

(9)

\( {q'd=(nSd)\overline{{p}}} \)

gdzie \( n \) koncentracją atomów (cząsteczek), tj. ilością atomów w jednostce objętości \( n = N/(Sd)n \). Ostatecznie więc

(10)

\( {q'=nS\overline{{p}}} \)

Podstawiamy tę wielkość do wzoru na \( \varepsilon_{r} \)

(11)

\( {\varepsilon _{{r}}=\frac{q}{q-q'}=\frac{q}{q-nS\overline{{p}}}} \)

Pokazaliśmy powyżej, że indukowany moment dipolowy \( p \) wynosi \( {p=Qr=\frac{R^{{3}}}{k}E} \).

Podstawiając do tego wzoru wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w kondensatorze płaskim (wzór Kondensator z dielektrykiem-( 4 ) ), otrzymujemy

(12)

\( p=\frac{R^3}{k}\frac{(q-q')}{\varepsilon_0S}=4\mathit{\pi R}^{{3}}\frac{q-q'}{S} \)

Wstawiając to wyrażenie do wzoru ( 11 ), obliczamy \( \varepsilon_{r} \)

(13)

\( \varepsilon_r=\frac{q}{q-4\pi R^3n\frac{q-q'}{S}S}=\frac{1}{1-4\pi R^3n\frac{q-q'}{q}}=\frac{1}{1-4\pi R^3n\frac{1}{\varepsilon_r}} \)

skąd

(14)

\( \varepsilon_r=1+4\pi nR^3 \)

Otrzymana zależność jest przybliżona ze względu na znaczne uproszczenia przyjętego modelu atomu jednak pokazuje, że przenikalność dielektryczna \( \varepsilon_{r} \) jest większa od jedności i że zależy od właściwości dielektryka, takich jak koncentracja atomów \( n \) i promień atomu \( R \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe